题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

（13分）（2011•湖北）设函数f（x）=x³+2ax²+bx+a，g（x）=x²﹣3x+2，其中x∈R，a、b为常数，已知曲线y=f（x）与y=g（x）在点（2，0）处有相同的切线l．
（Ⅰ） 求a、b的值，并写出切线l的方程；
（Ⅱ）若方程f（x）+g（x）=mx有三个互不相同的实根0、x₁、x₂，其中x₁＜x₂，且对任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）+g（x）＜m（x﹣1）恒成立，求实数m的取值范围．

答案

（Ⅰ）x﹣y﹣2=0（Ⅱ）（﹣，0）

解析

试题分析：（I） 利用曲线y=f（x）与y=g（x）在点（2，0）处有相同的切线l，可得f（2）=g（2）=0，f"（2）=g"（2）=1．即为关于a、b的方程，解方程即可．
（II）把方程f（x）+g（x）=mx有三个互不相同的实根转化为x₁，x₂是x²﹣3x+2﹣m=0的两相异实根．求出实数m的取值范围以及x₁，x₂与实数m的关系，再把f（x）+g（x）＜m（x﹣1）恒成立问题转化为求函数f（x）+g（x）﹣mx在x∈[x₁，x₂]上的最大值，综合在一起即可求出实数m的取值范围．
解：（I） f"（x）=3x²+4ax+b，g"（x）=2x﹣3．
由于曲线y=f（x）与y=g（x）在点（2，0）处有相同的切线l．
故有f（2）=g（2）=0，f"（2）=g"（2）=1．
由此得，解得，
所以a=﹣2，b=5..切线的方程为x﹣y﹣2=0．
（II）由（I）得f（x）=x³﹣4x²+5x﹣2，所以f（x）+g（x）=x³﹣3x²+2x．
依题意，方程x（x²﹣3x+2﹣m）=0，有三个互不相等的实根0，x₁，x₂，
故x₁，x₂是x²﹣3x+2﹣m=0的两相异实根．
所以△=9﹣4（2﹣m）＞0，解得m＞﹣．
又对任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）+g（x）＜m（x﹣1）恒成立，
特别地取x=x₁时，f（x₁）+g（x₁）＜m（x₁﹣1）成立，得m＜0．
由韦达定理得x₁+x₂=3＞0，x₁x₂=2﹣m＞0．故0＜x₁＜x₂．
对任意的x∈[x₁，x₂]，x﹣x₂≤0，x﹣x₁≥0，x＞0．
则f（x）+g（x）﹣mx=x（x﹣x₁）（x﹣x₂）≤0，又f（x₁）+g（x₁）﹣mx₁=0．
所以f（x）+g（x）﹣mx在x∈[x₁，x₂]上的最大值为0．
于是当m＜0，对任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）+g（x）＜m（x﹣1）恒成立，
综上得：实数m的取值范围是（﹣，0）．
点评：本题主要考查函数，导数，不等式等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能立，以及函数与方程和特殊与一般的思想．