题目

题型：解答题难度：一般来源：0103 月考题

已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞-2x的解集为（1，3）。
（1）若方程f（x）+6a=0有两个相等的根，求f（x）的解析式；
（2）若f（x）的最大值为正数，求a的取值范围。

答案

解：（1）设f（x）=ax²+bx+c，则不等式f（x）＞-2x为ax²+（b+2）x+c＞0，
∵不等式的解集为（1，3），
∴a＜0，=4，=3，即a＜0，b=-4a-2，c=3a，
∵方程ax²+bx+6a+c=0有两个相等的根，
∴Δ=b²-4a（6a+c）=0，
把b、c分别代入Δ中，得5a²-4a-1=0. 解得a=，a=1（舍），
∴b=，c=，
∴f（x）的解析式为。
（2）由（1）知a＜0，所以当x=时，函数f（x）取到最大值，
由题设，得a（）²+b·（）+c＞0，
代入b、c并整理，得a²+4a+1＞0，
解得a＜-2-或a＞-2+，
又∵a＜0，
∴a的取值范围为（-∞，-2-）∪（-2+，0）。