题目

题型：解答题难度：一般来源：同步题

对于函数f（x），若存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀成立，则称x₀为f（x）的不动点。已知函数f（x）=ax²+（b+1）x+b-1（a≠0），
（1）当a=1，b=-2时，求f（x）的不动点；
（2）若对于任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求a的取值范围。

答案

解：（1）当a=1，b=-2时，
f（x）=x²-x-3=xx²-2x-3=0（x-3）（x+1）=0x=3或x=-1，
∴f（x）的不动点为x=3或x=-1；
（2）对任意实数b，f（x）恒有两个相异不动点
对任意实数b，ax²+（b+1）x+b-1=x恒有两个不等实根
对任意实数b，Δ=（b+1）²-4a（b-1）＞0恒成立
对任意实数b，b²+2（1-4a）b+1+4a＞0恒成立
Δ′=4（1-4a）²-4（1+4a）＜0
（1-4a）²-（1+4a）＜0
4a²-3a＜0a（4a-3）＜00＜a＜。