题目
题型:解答题难度:困难来源:模拟题
(1)求函数f(x),g(x)的解析式;
(2)求F(x)=f(x)-g(x)的极小值;
(3)是否存在实常数k和m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m?若存在,求出k和m的值;若不存在,说明理由。
答案
则f′(0)=n=0,f′(-1)=-2m+n=-2,
从而n=0,m=1,
∴f(x)=x2,,
由f(1)=g(1),f′(1)=g′(1),得a+b-3=1,3a+b=2,
解得a=-1,b=5,
∴。
(2),
求导数得,
∴F(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
从而F(x)的极小值为F(1)=0.
(3)因f(x)与g(x)有一个公共点(1,1),而函数f(x)在点(1,1)的切线方程为y=2x-1,
下面验证都成立即可.
由得,知f(x)≥2x-1恒成立;
设h(x)=-x3+5x-3-(2x-1),即h(x)=-x3+3x-2(x>0),
求导数得h′(x)=-3x2+3=-3(x-1)(x+1)(x>0),
∴h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
所以h(x)= -x3+5x-3-(2x-1)的最大值为h(1)=0,
所以-x3+5x-3≤2x-1恒成立,
故存在这样的实常数k和m,且k=2,m=-1。
核心考点
试题【设二次函数f(x)=mx2+nx+t的图象过原点,g(x)=ax3+bx-3(x>0),f(x),g(x)的导函数分别为f′(x),g′(x),且f′(0)=0】;主要考察你对二次函数的图象和性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
B.[2,+∞)
C.(-∞,0]∪[2,+∞)
D.[0,2]
已知函数f(x)=-x2+8x,g(x)=6lnx+m,
(Ⅰ)求f(x)在区间[t,t+1]上的最大值h(t);
(Ⅱ)是否存在实数m,使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点?若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由。
B.(-∞,0]
C.[-1,0]∪[1,+∞)
D.(-∞,-1]∪[0,1]
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