题目

题型：解答题难度：一般来源：湖南省月考题

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x²﹣4x 。
（1）求f（﹣1）的值；
（2）当x＜0时，求f（x）的解析式；
（3）求函数f（x）在[t，t+1]（t＞0）上的最小值。

答案

解：（1）∵f（x）是R上的偶函数，
∴f（﹣1）=f（1）=1﹣4×1=﹣3 。
（2）若x＜0，则﹣x＞0，f（x）=f（﹣x）=[（﹣x）²﹣4（﹣x）]=x²+4x 。
（3）x＞0时，f（x）=x²﹣4x=（x﹣2）²﹣4在（0，2）上是减函数，
在（2，+∞）上是增函数 。
 ①t+1≤2即0＜t≤1时，f（x）在[t，t+1]上是减函数 ，
f（x）min=f（t+1）=（t+1）²﹣4（t+1）=t²﹣2t﹣3 。
②t＜2＜t+1即1＜t＜2时，f（x）在[t，t+1]上先减后增，f（x）_min=f（2）=﹣4 。
③t≥2时，f（x）在[t，t+1]上是增函数，f（x）_min=f（t）=t²﹣4t ，
 即f（x）min= 。