题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=ax²+ax和g（x）=x-a．其中a∈R且a≠0．
（1）若函数f（x）与g（x）的图象的一个公共点恰好在x轴上，求a的值；
（2）若p和q是方程f（x）-g（x）=0的两根，且满足0＜p＜q＜

1

a

，证明：当x∈（0，p）时，g（x）＜f（x）＜p-a．

答案

（1）设函数g（x）图象与x轴的交点坐标为（a，0），（2分）
∵点（a，0）也在函数f（x）的图象上，∴a³+a²=0．（4分）
而a≠0，∴a=-1． （6分）
（2）由题意可知f（x）-g（x）=a（x-p）（x-q）．（8分）
当x∈（0，p）时，∵0＜x＜p＜q＜

1

a

，
∴a（x-p）（x-q）＞0，
即当x∈（0，p）时，f（x）-g（x）＞0，即f（x）＞g（x）．（10分）
又f（x）-（p-a）=a（x-p）（x-q）+x-a-（p-a）=（x-p）（ax-aq+1），
当x∈（0，p）时，x-p＜0，且ax-aq+1＞1-aq＞0，
∴f（x）-（p-a）＜0，
∴f（x）＜p-a，
综上可知，g（x）＜f（x）＜p-a．（14分）