题目

题型：解答题难度：简单来源：不详

（12分）二次函数f(x)=ax²+x+1(a＞0)的图象与x轴的两个不同的交点的横坐标分别为x₁、x₂。
（1）证明：(1+x₁)(1+x₂)=1；
（2）证明：x₁＜－1，x₂＜－1；
（3）若函数y=xf(x)在区间（－，－4）上单调递增，试求a的取值范围。

答案

（1）见解析（2）见解析（3）

解析

（1）由题意知x₁，x₂是一元二次方和ax²+x+1=0的两个实根，所以x₁+x₂=－，x₁x₂=
x₁+x₂=－x₁x₂，所以（1+x₁）（1+x₂）=1
（2）由方程ax²+x+1=0(a＞0)的判别式=1－4a＞0，解得0＜a＜.
所以y=ax²+x+1=0(a＞0)的图象的对称轴
x=－，且f(－1)=a＞0
所以二次函数y=ax²+x+1(a＞0)的图象与x轴两个交点都在－1点的左侧，
即x₁＜－1，x₂＜－1
（3）设g(x)=xf(x)=ax³+x²+x(0＜a＜)，
∴g’(x)=3ax²+2x+1＞0对x(－，－4)恒成立，
∴3a＞=－()²+1
又当x（－，－4）时，－()²+1＜ 
∴a≥，∴