题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数.
(1)求函数的最小值;
(2)证明:对任意恒成立;
(3)对于函数图象上的不同两点,如果在函数图象上存在点(其中)使得点处的切线,则称直线存在“伴侣切线”.特别地,当时,又称直线存在 “中值伴侣切线”.试问:当时,对于函数图象上不同两点、,直线是否存在“中值伴侣切线”?证明你的结论.
答案
解析
第二问
令,
结合导数来判定。
第三问中,当时,,,假设函数存在“中值伴侣切线”.
设,是曲线上的不同两点,且
则,. 故直线AB的斜率:
曲线在点处的切线斜率:
=
依题意可得。
解:(1) …………1分
……………………………………2分
……………………………4分
(2)
令,………………6分
因为,显然,所以在上递增,
显然有恒成立.(当且仅当x=1时等号成立),即证. ………8分
(3)当时,,,假设函数存在“中值伴侣切线”.
设,是曲线上的不同两点,且
则,. 故直线AB的斜率:
…………………………………………………………10分
曲线在点处的切线斜率:
=…………………………………………11分
依题意得:
化简可得:, 即=. …………12分
设 (),上式化为,由(2)知时,恒成立.
所以在内不存在t,使得成立.
综上所述,假设不成立.所以,函数f(x)不存在“中值伴侣切线” ………………14分
核心考点
试题【(本小题满分14分)已知函数.(1)求函数的最小值;(2)证明:对任意恒成立;(3)对于函数图象上的不同两点,如果在函数图象上存在点(其中)使得点处的切线,则称】;主要考察你对一次函数的图象和性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知为二次函数,且
(1)求的表达式;
(2)当时,求的最大值与最小值;
(2)若关于的不等式有解,求实数的取值范围.
已知二次函数的二次项系数为,且不等式的解集为.
(1)若方程有两个相等的实数根, 求的解析式;
(2)若的最大值为正数,求的取值范围.
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