题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知f(x)=在区间[－1，1]上是增函数.
（Ⅰ）求实数a的值组成的集合A；
（Ⅱ）设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x₁、x₂.试问：是否存在实数m，使得不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由.

答案

解：（Ⅰ）A={a|－1≤a≤1}.（Ⅱ）{m|m≥2，或m≤－2}.

解析

试题分析：
思路分析：（Ⅰ）根据f(x)在[－1，1]上是增函数，可得到f＇(x)≥0对x∈[－1，1]恒成立，即x²－ax－2≤0对x∈[－1，1]恒成立.转化成(x)=x²－ax－2，二次函数问题。处理的方法较多。
（Ⅱ）由
从而可以得到x²－ax－2=0的两非零实根x₁，x₂的关系，将问题转化成
“要使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，
当且仅当m²+tm+1≥3对任意t∈[－1，1]恒成立，
即m²+tm－2≥0对任意t∈[－1，1]恒成立“同样将问题转化成二次函数问题。      
解：（Ⅰ）f＇(x)=4+2 ∵f(x)在[－1，1]上是增函数，
∴f＇(x)≥0对x∈[－1，1]恒成立，
即x²－ax－2≤0对x∈[－1，1]恒成立.       ①
设(x)=x²－ax－2，
方法一：
① －1≤a≤1，
∵对x∈[－1，1]，只有当a=1时，f＇(-1)=0以及当a=－1时，f＇(1)=0
∴A={a|－1≤a≤1}.
方法二：
① 或
0≤a≤1或－1≤a<0
 －1≤a≤1.
∵对x∈[－1，1]，只有当a=1时，f＇(－1)=0以及当a=－1时，f＇(1)=0
∴A={a|－1≤a≤1}.
（Ⅱ）由
∵△=a²+8>0
∴x₁，x₂是方程x²－ax－2=0的两非零实根，
∴ 
从而|x₁－x₂|==.
∵－1≤a≤1，∴|x₁-x₂|=≤3.
要使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，
当且仅当m²+tm+1≥3对任意t∈[－1，1]恒成立，
即m²+tm－2≥0对任意t∈[－1，1]恒成立.       ②
设g(t)=m²+tm－2=mt+(m²－2)，
方法一：
②
m≥2或m≤－2.
所以，存在实数m，使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤－2}.
方法二：
当m=0时，②显然不成立；
当m≠0时，
②或
 m≥2或m≤－2.
所以，存在实数m，使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤－2}.
点评：中档题，本题主要利用“转化与化归思想”，将问题转化成二次函数在闭区间的最值问题，通过确定函数的最值，达到确定参数范围的目的。