题目

题型：解答题难度：一般来源：同步题

设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x+2)=-f(x)．当x∈[0，2]时，f(x)=2x-x²，
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式；
(3)计算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 012)．

答案

解：(1)∵f(x+2)=-f(x)，
∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，
∴f(x)是周期为4的周期函数．
(2)当x∈[-2，0]时，-x∈[0，2]，
由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)²=-2x-x²，
又f(x)是奇函数，
∴f(-x)=-f(x)=-2x-x²，
∴f(x)=x²+2x，
又当x∈[2，4]时，x-4∈[-2，0]，
∴f(x-4)=(x-4)²+2(x-4)，
又f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(x)=f(x-4) =(x-4)²+2(x-4) =x²-6x+8，
从而求得x∈[2，4]时，f(x)=x²-6x+8；
(3)f(0)=0，f(2)=0，f(1)=1，f(3)=-1，
又f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=…=f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)+f(2 012)=0，
∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 012)=0。