题目
题型:解答题难度:一般来源:月考题
(1)求证f(x)为奇函数;
(2)若f(k·3x)+f(3x﹣9x﹣2)<0对任意x∈R恒成立,求实数k的取值范围.
答案
① 令x=y=0,代入①式,得f(0+0)=f(0)+f(0),即f(0)=0.
令y=﹣x,代入①式,得f(x﹣x)=f(x)+f(﹣x),又f(0)=0,
则有 0=f(x)+f(﹣x).即f(﹣x)=﹣f(x)
对任意x∈R成立,所以f(x)是奇函数.
(2)解:f(3)=log23>0,即f(3)>f(0),
又f(x)在R上是单调函数,所以f(x)在R上是增函数,
又由(1)f(x)是奇函数. f(k?3x)<﹣f(3x﹣9x﹣2)=f(﹣3x+9x+2),
k?3x<﹣3x+9x+2,
令t=3x>0,分离系数得: ,
问题等价于 ,对任意t>0恒成立.
∵ , ∴ .
核心考点
试题【定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log23且对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y).(1)求证f(x)为奇函数;(2)若f(k·3x)+】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
①函数与是同一函数;
②若函数y=f(x)与y=g(x)的图象关于直线y=x对称,
则函数y=f(2x)与的图象也关于直线y=x对称;
③若奇函数f(x)对定义域内任意x都有f(x)=f(2﹣x),则f(x)为周期函数.
其中真命题是
B.①③
C.②③
D.②
B.一定是偶函数
C.既不是奇函数,也不是偶函数
D.奇偶性与k有关
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