题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
(Ⅰ)当a=-
1 |
4 |
(Ⅱ)当x∈[0,+∞)时,不等式f(x)≤x恒成立,求实数a的取值范围.
(Ⅲ)求证:(1+
2 |
2×3 |
4 |
3×5 |
8 |
5×9 |
2n |
(2n-1+1)(2n+1) |
答案
1 |
4 |
1 |
4 |
f′(x)=-
1 |
2 |
1 |
x+1 |
(x+2)(x-1) |
2(x+1) |
由f"(x)>0,解得-1<x<1,由f"(x)<0,解得x>1.
故函数f(x)的单调递增区间为(-1,1),单调递减区间为(1,+∞).
(Ⅱ)当x∈[0,+∞)时,不等式f(x)≤x恒成立,即ax2+ln(x+1)-x≤0恒成立,
设g(x)=ax2+ln(x+1)-x(x≥0),只需g(x)max≤0即可.
由g′(x)=2ax+
1 |
x+1 |
x[2ax+(2a-1)] |
x+1 |
(ⅰ)当a=0时,g′(x)=
-x |
x+1 |
当x>0时,g"(x)<0,函数g(x)在(0,+∞)上单调递减,
故g(x)≤g(0)=0成立.
(ⅱ)当a>0时,由g′(x)=
x[2ax+(2a-1)] |
x+1 |
1 |
2a |
①若
1 |
2a |
1 |
2 |
则函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,
g(x)在[0,+∞)上无最大值,此时不满足条件;
②若
1 |
2a |
1 |
2 |
1 |
2a |
1 |
2a |
同样g(x)在[0,+∞)上无最大值,不满足条件.
(ⅲ)当a<0时,g′(x)=
x[2ax+(2a-1)] |
x+1 |
∵x∈[0,+∞),∴2ax+(2a-1)<0,
∴g"(x)≤0,故函数g(x)在[0,+∞)上单调递减,
故g(x)≤g(0)=0成立.
综上所述,实数a的取值范围是(-∞,0].
(Ⅲ)据(Ⅱ)知当a=0时,ln(x+1)≤x在[0,+∞)上恒成立,
又
2n |
(2n-1+1)(2n+1) |
1 |
2n-1+1 |
1 |
2n+1 |
∵ln{(1+
2 |
2×3 |
4 |
3×5 |
8 |
5×9 |
2n |
(2n-1+1)(2n+1) |
=ln(1+
2 |
2×3 |
4 |
3×5 |
8 |
5×9 |
2n |
(2n-1+1)(2n+1) |
2 |
2×3 |
4 |
3×5 |
8 |
5×9 |
2n |
(2n-1+1)(2n+1) |
=2[(
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
5 |
1 |
5 |
1 |
9 |
1 |
2n-1+1 |
1 |
2n+1 |
=2[(
1 |
2 |
1 |
2n+1 |
∴(1+
2 |
2×3 |
4 |
3×5 |
8 |
5×9 |
2n |
(2n-1+1)(2n+1) |
核心考点
试题【已知函数f(x)=ax2+ln(x+1).(Ⅰ)当a=-14时,求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)当x∈[0,+∞)时,不等式f(x)≤x恒成立,求实数a的取值范】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
2x+b |
2x+1+a |
(1)求a,b的值;
(2)对任意正数x,不等式f[k(log3x)2-2log3x]+f[2(log3x)2+k]>0恒成立,求实数k的取值范围.
4x2-7 |
2-x |
(1)求函数f(x)的单调区间和值域;
(2)设a≥1,函数g(x)=x3-3a2x-2a,x∈[0,1],若对于任意x1∈[0,1],总存在x0∈[0,1],使得g(x0)=f(x1)成立,求a的取值范围.
1 |
2x+1 |
(1)如果f(x)存在零点,求a的取值范围;
(2)是否存在常数a,使f(x)为奇函数?如果存在,求a的值,如果不存在,说明理由.
1-x2 |
9 |
1+|x| |
A.奇函数 | B.偶函数 |
C.既是奇函数又是偶函数 | D.非奇非偶数 |
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