题目
题型:填空题难度:一般来源:黄冈模拟
①对x∈R都有f(x+6)=f(x)+f(3)
②f(-5)=-1;
③当x1,x2∈[0,3]且x1≠x2时,都有
f(x1)-f(x2) |
x1-x2 |
(1)f(2009)=______;
(2)若方程f(x)=0在区间[a,6-a]上恰有3个不同实根,实数a的取值范围是______.
答案
所以f(-x+6)=f(-x)+f(3)=f(x)+3=f(x+6),所以f(x)关于x=6对称,
因为f(6-x)=f(6+x),所以f(-x)=f(x+12)=f(x),所以f(x)是以12为周期的函数,
∴f(2009)=f(5)=f(-5)=-1;
(2)根据当x1,x2∈[0,3]且x1≠x2时,都有
f(x1)-f(x2) |
x1-x2 |
又f(x)为偶函数,故在[-3,0]上为减函数.
令x=-3,则由f(x+6)=f(x)+f(3)得f(3)=f(-3)+f(3)=2f(3),故f(3)=0
因为f(x+6)=f(x)+f(3),所以f(3)=f(-3)+f(3)=0,f(x)关于x=6对称,所以f(9)=0,因为y=f(x)是R上的偶函数,f(-9)=0,f(-3)=0,因 为f(x)在[0,3]上是增函数,所以[0,3]上只有一解为3,对称性[-3,0]只有一解为-3,因为f(x+6)=f(x)+f(3),且f(x)在[0,3]上是增函数,所以f(x)在[6,9]上是增函数,所以[6,9]上只有一解为9,因为f(x)关于x=6对称,所以f(x)在[3,6]上只有一解为3,由对称性知[-9,-6],[-6,-3]各只有一解-9,-3,
要使方程f(x)=0在区间[a,6-a]上恰有3个不同实根,则a>-9,6-a≤9
∴实数a的取值范围是(-9-3]
故答案为-1,(-9-3]
核心考点
试题【定义在R上的偶函数y=f(x)满足:①对x∈R都有f(x+6)=f(x)+f(3)②f(-5)=-1;③当x1,x2∈[0,3]且x1≠x2时,都有f(x1)-】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
ab |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
3 |
2 |
1 |
2 |
①函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称;
②函数y=f(x)是周期函数;
③当x∈[-3,-2]时,f′(x)≥0; ④函数y=f(x)的图象上横坐标为偶数的点都是函数的极小值点.
其中正确表述的番号是______.
a |
a2-1 |
(1)判断f(x)的奇偶性.
(2)讨论f(x)的单调性.
(3)当x∈[-1,1]时,f(x)≥b恒成立,求b的取值范围.
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