题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）同时满足如下三个条件：①对于任意x，y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y）；
②当x＞1时，f（x）＜0；③f（3）=-1
（1）计算f（9），f(

3

)的值；
（2）证明f（x）在（0，+∞）上为减函数；
（3）有集合A={（x₀，y₀）|f（x₀²+1）-f（5y₀）-2＞0，x₀，y₀∈（0，+∞）}，B={(x0，y0)|f(

x0

y0

)+

1

2

=0，x0，y0∈(0，+∞)}．问：是否存在（x₀，y₀）使（x₀，y₀）∈A∩B．

答案

（1）∵对于任意x，y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y）∴f（9）=2f（3）=-2；f（3）=2f（

3

）=-1，∴f（

3

）=-

1

2

（2）设任意x，y∈（0，+∞），且x＜y，且

y

x

=t  （t＞1）
则f（x）-f（y）=f（x）-f（tx）=f（x）-f（x）-f（t）=-f（t）
∵当x＞1时，f（x）＜0，∴-f（t）＞0
∴f（x）＞f（y）
∴f（x）在（0，+∞）上为减函数
（3）依题意可得f（1）=0，f（

1

3

）=1，f（

1

9

）=2
f（x₀²+1）-f（5y₀）-2＞0⇔f（x₀²+1）＞f（5y₀）+2=f（5y₀）+f（

1

9

）=f（

5

9

y₀）⇔x₀²+1＜

5

9

y₀）①
f(

x0

y0

)+

1

2

=0⇔f(

x0

y0

)+f(

3

3

)=0⇔f（

3 x0

3y0

）=f（1）⇔

3 x0

3y0

=1②
将②代入①得27x₀²-5

3

x₀+27＜0
此不等式无解
故不存在（x₀，y₀）使（x₀，y₀）∈A∩B