设f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且当-1≤x≤0时，f（x）=2x3+5ax2+4a2x+b．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）当1＜a≤3时，求函 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：解答题难度：一般来源：深圳二模

设f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且当-1≤x≤0时，f（x）=2x³+5ax²+4a²x+b．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）当1＜a≤3时，求函数f（x）在（0，1]上的最大值g（a）；
（Ⅲ）如果对满足1＜a≤3的一切实数a，函数f（x）在（0，1]上恒有f（x）≤0，求实数b的取值范围．

答案

（Ⅰ）当0＜x≤1时，-1≤-x＜0，则
f（x）=-f（-x）=2x³-5ax²+4a²x-b．
当x=0时，f（0）=-f（-0）∴f（0）=0；
∴f（x）=

2x3+5ax2+4a2x+b，(-1≤x＜0)

2x3-5ax2+4a2x-b，(0＜x≤1)

f(0)=0

；
（Ⅱ）当0＜x≤1时，f′（x）=6x²-10ax+4a²=2（3x-2a）（x-a）=6（x-

）（x-a）．
①当

＜

＜1，即1＜a＜

时，
当x∈（0，

）时，f′（x）＞0，当x∈（

，1]时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，

）单调递增，在（

，1]上单调递减，
∴g（a）=f（

）=

a³-b．
②当1≤

≤2，即

≤a≤3时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，1]单调递增．
∴g（a）=f（1）=4a²-5a+2-b，
∴g（a）=

a3-b，(1＜a＜

)

4a2-5a+2-b，(

≤a≤3)

（Ⅲ）要使函数f（x）在（0，1]上恒有f（x）≤0，必须f（x）在（0，1]上的最大值g（a）≤0．
也即是对满足1＜a≤3的实数a，g（a）的最大值要小于或等于0．
①当1＜a≤

时，g′（a）=

a²＞0，此时g（a）在（1，

）上是增函数，
则g（a）＜

(

)3-b=

-b．∴

-b≤0，解得b≥

；
②当

≤a≤3时，g′（a）=8a-5＞0，此时，g（a）在[

，3]上是增函数，g（a）的最大值是g（3）=23-b．
∴23-b≤0，解得b≥23．
由①、②得实数b的取值范围是b≥23．

核心考点

试题【设f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且当-1≤x≤0时，f（x）=2x3+5ax2+4a2x+b．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）当1＜a≤3时，求函】；主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知函数f（x）=log_ax和g（x）=2log_a（2x+t-2），（a＞0，a≠1，t∈R）的图象在X=2处的切线互相平行．
（1）求T的值；
（2）设F（x）=g（x）-f（x），当x∈[1，4]时，F（x）≥2恒成立，求A的取值范围．

题型：解答题难度：一般| 查看答案

已知集合M_D是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数k，使得对定义域D内的任意两个不同的实数x₁，x₂，均有|f（x₁）-f（x₂）|≤k|x₁-x₂|成立．
（Ⅰ）当D=R时，f（x）=x是否属于M_D？说明理由；
（Ⅱ）当D=[0，+∞）时，函数f(x)=

x+1

属于M_D，求k的取值范围；
（Ⅲ）现有函数f（x）=sinx，是否存在函数g（x）=kx+b（k≠0），使得下列条件同时成立：
①函数g（x）∈M_D；
②方程g（x）=0的根t也是方程f（x）=0的根，且g（f（t））=f（g（t））；
③方程f（g（x））=g（f（x））在区间[0，2π）上有且仅有一解．若存在，求出满足条件的k和b；若不存在，说明理由．

题型：解答题难度：一般| 查看答案

已知函数f(x) = lg

1-x

1+x

．
（1）求f（x）的定义域；
（2）求该函数的反函数f^-1（x）；
（3）判断f^-1（x）的奇偶性．

题型：解答题难度：一般| 查看答案

函数f(x)=sin(x+

)sin(x+

)的最小正周期是T=______

题型：填空题难度：简单| 查看答案

设函数f（x）=ax³-2bx²+cx+4d，（a，b，c，d∈R）的图象关于原点对称，且x=1时，f（x）取极小值-

．
（Ⅰ）求a，b，c，d的值；
（Ⅱ）当x∈[-1，1]时，图象上是否存在两点，使两点处的切线互相垂直？试证明你的结论；
（Ⅲ）若x₁，x₂∈[-1，1]，求证：|f(x1)-f(x2)|≤

．

题型：解答题难度：一般| 查看答案

最新试题

热门考点