题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

设函数f（x）=ax³-2bx²+cx+4d，（a，b，c，d∈R）的图象关于原点对称，且x=1时，f（x）取极小值-

1

3

．
（Ⅰ）求a，b，c，d的值；
（Ⅱ）当x∈[-1，1]时，图象上是否存在两点，使两点处的切线互相垂直？试证明你的结论；
（Ⅲ）若x₁，x₂∈[-1，1]，求证：|f(x1)-f(x2)|≤

4

3

．

答案

（I）因为图象关于原点对称，所以f（x）为奇函数，所以b=0，d=0
所以f（x）=ax³+cx，因此f"（x）=3ax²+c
由题意得

f(1)=a+c=- 1 3 f′(1)=3a+c=0

，
解得a=

1

6

，c=-

1

2

（II）不存在．
证明：假设存在x₁，x₂，则f"（x₁）•f"（x₂）=-1
所以（x₁²-1）（x₂²-1）=-4
因为x₁，x₂∈[-1，1]所以x₁²-1，x₂²-1∈[-1，0]
因此（x₁²-1）（x₂²-1）≠-4
所以不存在．
（III）证明：f′(x)=

1

2

x2-

1

2

由f′(x)=

1

2

x2-

1

2

=0得x=±1fmin(x)=f(1)=-

1

3

，fmax(x)=f(-1)=

1

3

所以|f(x1)-f(x2)|≤fmax(x)-fmin(x)=f(-1)-f(1)=

2

3

＜

4

3