题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=x²-2（a+1）x+a²+1，x∈R．
（1）若a=2，解不等式f（x）＜0；
（2）若a∈R，解关于x的不等式f（x）＜0；
（3）若x∈[0，2]时，f（x）≥a²（1-x）恒成立．求实数a的取值范围．

答案

（1）当a=2时，f（x）=x²-6x+5=（x-1）（x-5）＜0
∴1＜x＜5-----（2分）
（2）f（x）=0时△=8a--（4分）
当a≤0，x∈Φ；-----（6分）
当a＞0，a+1-

2a

＜x＜a+1+

2a

---（8分）
（3）由题意：任意的x∈[0，2]，x²+1≥（-a²+2a+1）x，成立
当x=0时，不等式显然成立--（10分）
当x∈（0，2]，-a2+2a+2≤x+

1

x

．
∵x+

1

x

≥2，(x=1 时取等)
∴-a²+2a+2≤2，即a≤0或a≥2
综上：a≤0或a≥2---（16分）