题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知f(x)=

x

，g（x）=x+a  （a＞0）
（1）当a=4时，求|

f(x)-ag(x)

f(x)

|的最小值
（2）当1≤x≤4时，不等式|

f(x)-ag(x)

f(x)

|＞1恒成立，求a的取值范围．

答案

（1）当a=4时，|

f(x)-ag(x)

f(x)

|=|

x -4x -16

x

|=|1-(4

x

+

16

x

) |
∵

x

＞0，∴4

x

+

16

x

≥ 16，当

x

=

4

x

，即x=4时，取“=”号
故|

f(x)-ag(x)

f(x)

|的最小值为15；
（2）|

f(x)-ag(x)

f(x)

|=|

x -ax -a2

x

|=|1-(a

x

+

a2

x

) |（1≤x≤4）
设t=

x

，则问题等价于|1-(at+

a2

t

) |＞1，t∈[1，2]时恒成立，
即at+

a2

t

＜0或at+

a2

t

＞2，t∈[1，2]时恒成立，
令 h(t)=a(t+

a

t

)，则只需h（t）在[1，2]上的最小值大于2或最大值小于0即可，
由函数 y=x+

a

x

的单调性知

a ＞2 h(t)min=h(2)＞2

或

1≤ a ≤2 h(t)min=h( a )＞2

或

0＜ a ＜1 h(t)min=h(1)＞2

，

a ＞2 h(t)max=h(1)＜0

或

1≤ a ≤2 h(t)max=h(1)＜0 h(2)＜0

或

0＜ a ＜1 h(t)max=h(2)＜0

或a＜0
解得a＞1或a＜0