题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

设f（x）=3ax²+2bx+c，且a+b+c=0，，求证：
（1）若f（0）•f（1）＞0，求证：-2＜

b

a

＜-1；
（2）在（1）的条件下，证明函数f（x）的图象与x轴总有两个不同的公共点A，B，并求|AB|的取值范围．
（3）若a＞b＞c，g（x）=2ax²+（a+b）x+b，求证：x≤-

3

时，恒有f（x）＞g（x）．

答案

（1）若a=0，则b=-c，f（0）•f（1）=c•（3a+2b+c）=-c²≤0与已知矛盾∴a≠0…（2分）
由f（0）•f（1）＞0，得c（3a+2b+c）＞0
由条件a+b+c=0消去c，得（a+b）（2a+b）＜0∵a²＞0∴(1+

b

a

)(2+

b

a

)＜0，∴-2＜

b

a

＜-1…（4分）
（2）方程3ax²+2bx+c=0的判别式△=4（b²-3ac）
由条件a+b+c=0消去b，得△=4(a2+c2-ac)=4[(a-

c

2

)2+

3

4

c2]＞0∴方程f（x）=0有实根
即函数f（x）的图象与x轴总有两个不同的交点A、B．设A（x₁，0），B（x₂，0）
由条件知x1+x2=-

2b

3a

x1x2=

c

3a

=-

a+b

3a

∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=

4

9

•

b2

a2

+

4

3

(1+

b

a

)=

4

9

•(

b

a

+

3

2

)2+

1

3

∵-2＜

b

a

＜-1∴

1

3

≤(x1-x2)2＜

4

9

∴

3

3

≤|x1-x2|＜

2

3

即

3

3

≤|AB|＜

2

3

…（9分）
（3）设h（x）=f（x）-g（x）=ax²+（b-a）x+c-b=ax²-（2a+c）x+a+2c∵a＞b＞c，a+b+c=0∴a＞0且a＞-a-c＞c
即-2＜

c

a

＜-

1

2

又h（x）的对称轴为x=

2a+c

2a

=1+

c

2a

＞0
∴x≤-

3

时，h(x)≥3a+

3

(2a+c)+a+2c=(2+

3

)(2a+c)＞0
即x≤-

3

时，f（x）＞g（x）恒成立…（14分）