已知奇函数f（x）的定义域为（-1，1），当x∈（0，1）时，f(x)=2x2x+1．（1）求f（x）在（-1，1）上的解析式；（2）判断f（x）在（0，1）上 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知奇函数f（x）的定义域为（-1，1），当x∈（0，1）时，f(x)=

2x+1

．
（1）求f（x）在（-1，1）上的解析式；
（2）判断f（x）在（0，1）上的单调性，并证明之．

答案

（1）设-1＜x＜0，则0＜-x＜1，
故f(-x)=

2-x

2-x+1

2x+1

，
又f（x）为奇函数，所以f(x)=-f(-x)=-

2x+1

，
由于奇函数f（x）的定义域为（-1，1），所以f（0）=0，
所以，f（x）=

2x+1

，0＜x＜1

0，x=0

1+2x

，-1＜x＜0

．
（2）f（x）在（0，1）上单调递增．
证明：任取x₁，x₂∈（0，1），且x₁＜x₂，
则f(x2)-f(x1)=

2x2

1+2x2

2x1

1+2x1

2x2-2x1

(1+2x1)(1+2x2)

，
因为y=2^x在x∈R上递增，且0＜x₁＜x₂，
所以2x2-2x1＞0，
因此f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
故f（x）在（0，1）上单调递增．

核心考点

试题【已知奇函数f（x）的定义域为（-1，1），当x∈（0，1）时，f(x)=2x2x+1．（1）求f（x）在（-1，1）上的解析式；（2）判断f（x）在（0，1）上】；主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知f（x）是周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=lgx，设a=f(

)，b=f(

)，c=f(

)，则a，b，c从小到大的顺序为______．

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已知函数f（x）=lnx，g(x)=

2a2

（a＞0）
（Ⅰ）若设F（x）=f（x）+g（x），求F（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若函数H(x)=f(x)+

2g(x)

图象上任意点处的切线的斜率k≤1恒成立，求实数a的最小值；
（Ⅲ）是否存在实数m，使得函数p(x)=

x3+x2+m-

的图象与q(x)=

f(x2)的图象恰好有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由．

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设函数f（x）=

ax2+1

bx+c

是奇函数（a，b，c都是整数）且f（1）=2，f（2）＜3．
（1）求a，b，c的值；
（2）当x＜0，f（x）的单调性如何？用单调性定义证明你的结论；
（3）当x＞0时，求函数f（x）的最小值．

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若函数f（x）=

x2+ax， x＜0

-x2+x， x≥0

是奇函数，则a=______．

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设函数f（x）=

-1，-2≤x≤0

x-1，0＜x≤2

，若函数g（x）=f（x）-ax，x∈[-2，2]为偶函数，则实数a的值为______．

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