题目
题型:解答题难度:一般来源:济南一模
(I)求f(x)的单调区间与极值;
(II)是否存在实数a使得对于任意的x1,x2∈(a,+∞),且x1<x2,恒有
f(x2)-f(a) |
x2-a |
f(x1) -f(a) |
x1-a |
答案
当变化时的变化情况如下表:可知f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),递增区间为(-1,+∞),
f(x)有极小值为f(-1)=-
1 |
e |
(II)令g(x)=[f(x)-f(a)]/(x-a)=(xex-aea)/(x-a),x>a,
则[f(x2)-f(a)]/(x2-a)>[f(x1)-f(a)]/(x1-a)恒成立,
即g(x)在(a,+∞)内单调递增这只需g′(x)>0.而g′(x)=[ex(x2-ax-a)+aea]/(x-a)2
记h(x)=ex(x2-ax-a)+aea,
则h′(x)=ex[x2+(2-a)x-2a]=ex(x+2)(x-a)
故当a≥-2,且x>a时,h′(x)>0,h(x)在[a,+∞)上单调递增.
故h(x)>h(a)=0,从而g′(x)>0,不等式(*)恒成立
另一方面,当a<-2,且a<x<-2时,h′(x)<0,h(x)在[a,-2]上单调递减又h(a)=0,所以h(x)<0,
即g′(x)<0,g′(x)在(a,-2)上单调递减.
从而存在x1x2,a<x1<x2<-2,使得g(x2)<g(x1)
∴a存在,其取值范围为[-2,+∞)
核心考点
试题【已知函数f(x)=xex.(I)求f(x)的单调区间与极值;(II)是否存在实数a使得对于任意的x1,x2∈(a,+∞),且x1<x2,恒有f(x2)-f(a)】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
m2+1 |
m |
A.[0,
| B.[0,
| C.[0,
| D.[0,
|
1 |
|x| |
πx |
2 |
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