题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

(本小题满分14分)
已知集合是满足下列性质的函数的全体, 存在非零常数, 对任意, 有成立.
(1) 函数是否属于集合？说明理由;
(2) 设, 且, 已知当时, , 求当时, 的解析式.
（3）若函数，求实数的取值范围.

答案

(1). (2)当时, .
(3）{k|k= nπ, n∈Z}    

解析

(1)假设函数属于集合, 则存在非零常数, 对任意, 有成立,即: 成立.在不成立的情况下，易用反例说明.因而 令, 则, 与题矛盾. 故.  
(2)解决本题的关键是，根据1<x+4<2,从而根据时, 求出f(x)的表达式.
(3)解本题应讨论当k=0和k≠0两种情况.
然后解决本题的突破口是对任意x∈R，有f(x+T)="T" f(x)成立，即sin(kx+kT)=Tsinkx   
因为k≠0，且x∈R，所以kx∈R，kx+kT∈R，
于是sinkx∈[－1，1]，sin(kx+kT) ∈[－1，1]， 
故要使sin(kx+kT)=Tsinkx .成立，只有T=，下面再对T=1和T=-1两种情况进行讨论.
解:(1) 假设函数属于集合, 则存在非零常数, 对任意, 有成立,
即: 成立. 令, 则, 与题矛盾. 故. …………5分
注：只要能判断即可得1分.
(2) , 且, 则对任意, 有,
设, 则, …………8分  
当时, ,
故当时, . …………10分  
3）当k=0时，f(x)=0，显然f(x)=0∈M.   …………11分  
当k≠0时，因为f(x)=sinkx∈M，所以存在非零常数T，对任意x∈R，有
f(x+T)="T" f(x)成立，即sin(kx+kT)=Tsinkx .     
因为k≠0，且x∈R，所以kx∈R，kx+kT∈R，
于是sinkx∈[－1，1]，sin(kx+kT) ∈[－1，1]， 
故要使sin(kx+kT)=Tsinkx .成立，只有T=， …………12分
①当T=1时，sin(kx+k)=sinkx成立，则k=2mπ, m∈Z .
②当T=－1时，sin(kx－k)=－sinkx成立，
即sin(kx－k+π)= sinkx成立，
则－k+π=2mπ, m∈Z ，即k=－(2m－1)π, m∈Z . …………13分     
综合得，实数k的取值范围是{k|k= nπ, n∈Z}  …………14分