题目

题型：解答题难度：简单来源：不详

设函数定义域为，且.
设点是函数图像上的任意一点，过点分别作直线和轴的垂线，垂足分别为．

（1）写出的单调递减区间（不必证明）；（4分）
（2）设点的横坐标，求点的坐标（用的代数式表示）；（7分）
（3）设为坐标原点，求四边形面积的最小值.（7分）

答案

（1）函数在上是减函数. （2） 
（3）此时四边形面积有最小值.

解析

试题分析：（1）因为函数的图象过点，
所以                                         2分
函数在上是减函数.                                   4分
（2）设                                       5分
直线的斜率为                                          6分
则的方程                    7分
联立                                8分
                                          11分
（3）                                    12分
                                       13分
∴，                   14分
                                                
，                                15分
∴ ，                      16分
                                17分
当且仅当时，等号成立.
∴此时四边形面积有最小值.                              18分
点评：综合题，利用函数方程思想，得出面积表达式，进一步运用均值定理求面积的最小值，对数学式子变形能力要求较高。