题目

题型：解答题难度：困难来源：期末题

对于函数（，D是此函数的定义域），若同时满足下列条件：
①在D内单调递减或单调递增；
②存在区间[a，b]D，使在[a，b]上的值域为[a，b]；
那么把叫闭函数；
（1）求闭函数符合条件②的区间[a，b]；
（2）判断函数是否为闭函数？并说明理由；
（3）是闭函数，求实数k的取值范围。

答案

解：（1）易知为[a，b]上的减函数，
∴，
又a<b，
∴解得：，
∴区间为[-1，1]。
（2）取，，
则，
故不是（0，+∞）上的减函数；
再取，则，
故不是（-∞，0）上的增函数，
∴不是闭函数。
（3）设函数符合条件②的区间为[a，b]，
则，
∴a，b为方程的两个实根，
∴命题等价于关于x的方程
 有两个不等的实根，
当时，，∴；
当时，，
∴k∈不合题意，
所以，综上所述，k的取值范围是(]。