题目

题型：解答题难度：困难来源：0112 期末题

已知f（x）的定义域为（0，+∞），且满足f（4）=1，对任意x₁，x₂∈（0，+∞）都有f（x₁?x₂）=f（x₁）+f（x₂），当x∈（0，1）时，f（x）＜0。
（1）求f（1）；
（2）证明f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）解不等式f（3x+1）+f（2x-6）≤3。

答案

解：（1）令，则f（1）=0；
（2）设，且，
则，
，
∴，
又当x∈（0，1）时，f（x）＜0，
∴，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数。
（3）令，则；
令，则，
∴，
可得，
解得：，
∴不等式的解集为(3，5]。