题目

题型：解答题难度：一般来源：0114 期末题

定义在R上的单调函数f(x)满足对任意x，y均有f(x+y)=f(x)+f(y)，且f(1)=1。
（1）求f(0)的值，并判断f(x)的奇偶性；
（2）解关于x的不等式：f(x-x²+2)+f(2x)+2＜0。

答案

解：（1）令x=y=0，得f(0)=f(0)+f(0)，
∴f(0)=0，
令y=-x，则有f(0)=f(x)+f(-x)，
∵f(0)=0，
∴对任意x∈R，有f(-x)=-f(x)成立，
∴函数f(x)为奇函数。
（2）由函数f(x)为R上的单调函数，且，可知函数f(x)在上单调递增，
∴原不等式等价于，
，
又函数f(x)为奇函数，
∴，
∴，
∴，即，
∴原不等式的解集为或。