题目

题型：解答题难度：一般来源：同步题

已知函数f(x)=a^x+(a＞1)．
(1)证明：函数f(x)在(-1，+∞)上为增函数；
(2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根．

答案

证明：（1）任取x₁、x₂∈(-1，+∞)，
不妨设x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，ax₂-x₁＞1，且ax₁＞0，
∴ax₂-ax₁=ax₁(ax₂-x₁-1)＞0，
又∵x₁+1＞0，x₂+1＞0，

于是f(x₂)-f(x₁)=ax₂-ax₁+，
故函数f(x)在(-1，+∞)上为增函数．
（2）设存在x₀＜0(x₀≠-1)，满足f(x₀)=0，
则ax₀=，且0＜ax₀＜1，
即＜x₀＜2，与假设x₀＜0矛盾，
故方程f(x)=0没有负数根．