题目

题型：解答题难度：一般来源：同步题

已知函数f（x）=a-。
（1）求证：函数y=f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（2）若f（x）＜2x在（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围。

答案

解：（1）当x∈（0，+∞）时，f（x）=a-，
设0＜x₁＜x₂，则x₁x₂>0，x₂-x₁>0
f（x₁）-f（x₂）==＜0
∴f（x₁）＜f（x₂），
即f（x）在（0，+∞）上是增函数。
（2）由题意a-＜2x在（1，+∞）上恒成立
设
则a＜h（x）在（1，+∞）上恒成立
可证h（x）在（1，+∞）上单调递增
故a≤h（1），即a≤3，
∴a的取值范围为（-∞，3]。