题目

题型：解答题难度：一般来源：湖北省期末题

已知函数f（x）=a^x﹣2﹣1（a＞0，a≠1）．
（I）求函数f（x）的定义域、值域；
（II）是否存在实数a，使得函数f（x）满足：对于区间（2，+∞）上使函数f（x）有意义的一切x，都有f（x）≥0．

答案

解：（I）由4﹣a^x≥0，得a^x≤4．
当a＞1时，x≤log_a4；
当0＜a＜1时，x≥log_a4．
即当a＞1时，f（x）的定义域为（﹣∞，log_a4]；
当0＜a＜1时，f（x）的定义域为[log_a4，+∞）．
令t=，则0≤t＜2，且a^x=4﹣t²，
∴设g（t）=4﹣t²﹣2t﹣1=﹣（t+1）²+4，
当t∈[0，2）时，g（t）是单调减函数，
∴﹣5＜y≤3，
∴函数f（x）的值域是（﹣5，3]．
（II）若存在实数a使得对于区间（2，+∞）上使函数f（x）有意义的一切x，
都有f（x）≥0，则区间（2，+∞）是定义域的子集．
由（I）知，若a＞1不满足条件；
若0＜a＜1，x∈（2，+∞），0＜a^x＜a²＜1，则．
g（t）=﹣（t+1）²+4的对称轴为x=﹣1，在为减函数
∵，

∴x∈（2，+∞），f（x）＜0，即f（x）≥0不成立．
综上，满足条件的a的取值范围是．