题目
题型:解答题难度:一般来源:孝感模拟
1 |
2 |
(Ⅰ)当 a=1 时,求函数 f(x) 的最小值;
(Ⅱ)当 a≤0 时,讨论函数 f(x) 的单调性;
(Ⅲ)是否存在实数a,对任意的 x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,有
f(x2)-f(x1) |
x2-x1 |
答案
当a=1 时,f′(x)=
x2-x-2 |
x |
(x-2)(x+1) |
x |
∴当x∈(0,2)时,f′(x)<0,x∈(2,+∞),f"(x)>0.
∴f(x)在x=2时取得极小值且为最小值,其最小值为 f(2)=-2ln2…(4分)
(Ⅱ)∵f′(x)=x-
2a |
x |
x2+(a-2)x-2a |
x |
(x-2)(x+a) |
x |
∴(1)当-2<a≤0时,若x∈(0,-a)时,f′(x)>0,f(x)为增函数;
x∈(-a,2)时,f′(x)<0,f(x)为减函数;
x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,f(x)为增函数.
(2)当a=-2时,x∈(0,+∞)时,f(x)为增函数;
(3)当a<-2时,x∈(0,2)时,f′(x)>0,f(x)为增函数;
x∈(2,-a)时,f′(x)<0,f(x)为减函数;
x∈(-a,+∞)时,f′(x)>0,f(x)为增函数…(9分)
(Ⅲ)假设存在实数a使得对任意的 x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,有
f(x2)-f(x1) |
x2-x1 |
不妨设0<x1<x2,只要
f(x2)-f(x1) |
x2-x1 |
令g(x)=f(x)-ax,只要 g(x)在(0,+∞)为增函数
又函数g(x)=
1 |
2 |
考查函数g′(x)=x-
2a |
x |
x2-2x-2a |
x |
(x-1)2-1-2a |
x |
要使g"(x)≥0在(0,+∞)恒成立,只要-1-2a≥0,即a≤-
1 |
2 |
故存在实数a∈(-∞,-
1 |
2 |
f(x2)-f(x1) |
x2-x1 |
核心考点
试题【已知函数 f(x)=12x2-2alnx+(a-2)x,a∈R.(Ⅰ)当 a=1 时,求函数 f(x) 的最小值;(Ⅱ)当 a≤0 时,讨论函数 f(x) 的单】;主要考察你对函数的单调性与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
1 |
2 |
|
π |
8 |
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若f(
α |
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3 |
5 |
5π |
8 |
①函数f(x)在x>0时是增函数,x<0也是增函数,所以f(x)是增函数;
②已知函数f(x)=log3x+2,(x∈[1,9],则函数y=[f(x)]2+f(x2)的最大值是13;
③y=x2-2|x|-3的递增区间为[1,+∞);
④已知函数f(x)满足:当x≥3时,f(x)=(
1 |
3 |
1 |
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其中正确命题是 ______.
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