题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）的定义域为[0，1]，且同时满足：①f（1）=4；②若x∈[0，1]，都有f（x）≥3；③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，都有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）-3．
（1）求f（0）的值；
（2）当x∈（

1

3

，1]时，求证：f（x）＜3x+3．

答案

（1）由f（0+0）≥f（0）+f（0）-3，得f（0）≤3，
又由已知f（0）≥3，所以f（0）=3
（2）设0≤x₁＜x₂≤1，则0＜x₂-x₁≤1，
f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁+x₁）≥f（x₂-x₁）+f（x₁）-3-f（x₁）=f（x₂-x₁）-3≥0
得 f（x₁）≤f（x₂，
由于x∈[0，1]，得f（x）_max=f（1）=4．
又当x∈( 

1

3

 ， 1 ]时，4＜3x+3≤6，
所以f（x）＜3x+3．