题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

若函数f(x)=

ax2+1

x+b

，在定义域上是奇函数且f（1）=3，
（1）求a，b的值，写出f（x）的表达式；
（2）判断f（x）在[1，+∞）上的单调性，并加以证明．

答案

（1）∵f(x)=

ax2+1

x+b

，在定义域上是奇函数且f（1）=3，
∴f（-1）=-3
∴

a+1 1+b =3 a+1 -1+b =-3

解得a=2，b=0
∴f(x)=

2x2+1

x

（2）函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，理由如下：
∵f′(x)=

2x2-1

x2

=2-

1

x2

∵x∈[1，+∞）时，

1

x2

＜1，f′（x）＞0
故函数f（x）在[1，+∞）上单调递增