题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
(1)求证:y=f(x)是奇函数;
(2)判断y=f(x)的单调性,并证明;
(3)对任意t∈[1,2],f(tx2-2x)<f(t+2)恒成立,求x的范围.
答案
所以函数y=f(x)是奇函数;
(2)函数y=f(x)在整个R上是减函数
证明:令y>x,则y-x>0,
∵f(x)+f(y-x)=f(y),
∴f(y)-f(x)=f(y-x),
因为当x>0,f(x)<0,而y-x>0,所以f(y-x)<0 所以f(y)-f(x)<0,
即y>x,f(y)<f(x),
所以函数y=f(x)在整个R上是减函数;
(3)对任意t∈[1,2],f(tx2-2x)<f(t+2)恒成立
∴对任意t∈[1,2],tx2-2x>t+2恒成立
∴对任意t∈[1,2],(x2-1)t-2x-2>0恒成立,
令函数h(t)=(x2-1)t-2x-2
分三种情况:i、当x2-1=0时,x=1或-1,代入发现不符合(x2-1)t-2x-2>0
ii、当x2-1>0,即x>1或x<-1时,函数h(t)=(x2-1)t-2x-2是增函数,所以最小值为h(1)=x2-2x-3=(x+1)(x-3)>0,
所以x>3或x<-1
所以最后符合的解是:x>3或x<-1
iii、当x2-1<0,即-1<x<1时,函数h(t)=(x2-1)t-2x-2是减函数,所以最小值是h(2)=2x2-2x-4=2(x+1)(x-2)>0,
所以x>2或x<-1,与-1<x<1矛盾
综上知x的范围是:x>3或x<-1
核心考点
试题【函数y=f(x)对任意实数x、y满足f(x)+f(y-x)=f(y),且当x>0时,f(x)<0.(1)求证:y=f(x)是奇函数;(2)判断y=f(x)的单调】;主要考察你对函数的单调性与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
1 |
2 |
1 |
3 |
|
(1)求f(8)的值;
(2)求证:函数f(x)在(0,+∞)上为减函数;
(3)解不等式:f(2x+2)-f(2x-4)<-3.
|
(I)当x∈[200,300]时,判断该项目能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损?
(II)该项目每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?
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