题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知定义在实数集上的函数y=f（x）满足条件：对于任意的实数x，y，f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，f（x）＞0，f（1）=2，
（1）求f（0）；f（2）；
（2）证明：f（x）是奇函数；
（3）证明：f（x）是增函数．

答案

（1）由题设，令x=y=0，
恒等式可变为f（0+0）=f（0）+f（0），解得f（0）=0，
又f（1）=2，f（2）=f（1+1）=f（1）+f（1）=2+2=4，
（2）令y=-x，则 由f（x+y）=f（x）+f（y）得
f（0）=0=f（x）+f（-x），即得f（-x）=-f（x），
故f（x）是奇函数
（3）任取x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，
由题设x＞0时，f（x）＞0，可得f（x₂-x₁）＞0
f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＞0
故有f（x₂）＞f（x₁）
所以 f（x）是增函数．