题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=

1

x

-2．
（1）若f（x）=3，求x的值；
（2）证明函数f（x）=

1

x

-2在（0，+∞） 上是减函数．

答案

（1）∵f（x）=3，

1

x

-2=3，∴x=

1

5

．
（2）证明：设x₁，x₂是（0，+∞）上的两个任意实数，且x₁ ＜x₂，
则f （x₁）-f （x₂）=

1

x1

-2-（

1

x2

-2）=

1

x1

-

1

x2

=

x2-x1

x1x2

．
因为0＜x₁＜x₂，所以x₂-x₁ ＞0，x₁x₂ ＞0．
所以f （x₁）-f （x₂）=

x2-x1

x1x2

＞0，即f （x₁）＞f （x₂），
所以f （x）=

1

x

-2是 （0，+∞） 上的减函数．