题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

定义在R上的函数y=f（x），f（0）≠0，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意的a，b∈R，有f（a+b）=f（a）•f（b），
（1）求f（0）的值；
（2）求证：对任意的x∈R，恒有f（x）＞0；
（3）判断f（x）的单调性，并证明你的结论．

答案

（1）因为对任意的a，b∈R，有f（a+b）=f（a）•f（b），所以令a=b=0，则有f（0）=f（0）•f（0），又f（0）≠0，所以f（0）=1．
（2）证明：当x＞0时，f（x）＞1，当x=0时，f（0）=1，所以只需证明当x＜0时，f（x）＞0即可．
当x＜0时，-x＞0，f（0）=f（x）•f（-x），因为f（-x）＞1，所以0＜f（x）＜1，
故对任意的x∈R，恒有f（x）＞0；
（3）是增函数，证明如下
设x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，
f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁+x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁）f（x₁）-f（x₁）=[f（x₂-x₁）-1]f（x₁），
由题意知f（x₂-x₁）＞1，f（x₁）＞0，所以f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁）．
所以f（x）在R上为增函数．