题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

函数f（x）（x∈R⁺）满足下列条件：①f（a）=1（a＞1）②f（x^m）=mf（x）．
（1）求证：f（xy）=f（x）+f（y）；
（2）证明：f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（3）若不等式f（x）+f（3-x）≤2恒成立，求实数a的取值范围．

答案

（1）证明：令x=a^m，y=aⁿ，则f（xy）=f（a^maⁿ）=f（a^m+n）=（m+n）f（a）=m+n，
同理，f（x）+f（y）=m+n，∴得证
（2）证明：任设x₁，x₂∈R⁺，x₁＞x₂，可令，x₁=x₂t（t＞1），t=a^α（α＞0）
则f（x₁）-f（x₂）=f（x₂t）-f（x₂）=f（x₂）+f（t）-f（x₂）=f（t）=f（a^α）=αf（a）=α＞0
即f（x₁）＞f（x₂）∴f（x）在正实数集上单调递增
（3）f（x）+f（3-x）≤2可化成，f（x）+f（3-x）≤2f（a）
即f（x）+f（3-x）≤f（a²），
即

f[(x)(3-x)]≤f(a2) 0＜x＜3

，即

x(3-x)≤a2 0＜x＜3

，而当0＜x＜3时，[x(3-x)]max=

9

4

依题意，有a2≥

9

4

，又a＞1∴a≥

3

2

．