题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

设函数f（x）=|1-

1

x

|（x＞0），证明：当0＜a＜b，且f（a）=f（b）时，ab＞1．

答案

证明：方法一：由师意f（a）=f（b）⇔|1-

1

a

|=|1-

1

b

|⇔（1-

1

a

）²=（1-

1

b

）²⇔2ab=a+b≥2

ab

故ab-

ab

≥0，即

ab

（

ab

-1）≥0，故

ab

-1≥0，故ab＞1．
方法二：不等式可以变为f（x）=

1 x -1    x∈(0，1] 1- 1 x     x∈(1，+∞).

对函数进行分析知f（x）在（0，1]上是减函数，在（1，+∞）上是增函数．
由0＜a＜b且f（a）=f（b），得0＜a＜1＜b且

1

a

-1=1-

1

b

，
即

1

a

+

1

b

=2⇔a+b=2ab≥2

ab

故ab-

ab

≥0，即

ab

（

ab

-1）≥0，
故

ab

-1≥0，即ab＞1