题目
题型:解答题难度:简单来源:不详
已知定义域为[0, 1]的函数f(x)同时满足:
①对于任意的x[0, 1],总有f(x)≥0;
②f(1)=1;
③若0≤x1≤1, 0≤x2≤1, x1+x2≤1, 则有f(x1+x2) ≥ f(x1)+f(x2).
(1)试求f(0)的值;
(2)试求函数f(x)的最大值;
(3)试证明:当x, nN+时,f(x)<2x.
答案
(2)f(x)取最大值1.
(3)略
解析
又由条件(1)得f(0)≥0 故f(0)=0 …………3分
(2)任取0≤x1<x2≤1可知x2-x1(0,1],则
f(x2)=f[(x2-x1)+x1]≥f(x2-x1)+f(x1)≥f(x1)
于是当0≤x≤1时,有f(x)≤f(1)=1因此当x=1时,f(x)取最大值1.…………8分
(3)证明:先用数学归纳法证明:当x(nN+)时,f(x)≤
10当n=1时,x,f(x)≤f(1)=1=,不等式成立.
当n=2时,x,<2x≤1,f(2x)≤1,f(2x)≥f(x)+f(x)=2f(x)
∴f(x)≤f(2x)≤ 不等式成立.
20假设当n=k(kN+,k≥2)时,不等式成立,即x时,f(x)≤
则当n=k+1时,x,记t=2x,则t=2x, ∴f(t)≤
而f(t)=f(2x)≥2f(x),∴f(x)≤f(2x)=f(t)≤
因此当n=k+1时不等式也成立.
由10,20知,当x(nN+)时,f(x)≤
又当x(nN+)时,2x>, 此时f(x)<2x.
综上所述:当x(nN+)时,有f(x)<2x. ………… 14分
核心考点
试题【(本小题满分14分)已知定义域为[0, 1]的函数f(x)同时满足: ①对于任意的x[0, 1],总有f(x)≥0; ②f(1)=1; ③若0≤x1≤1, 】;主要考察你对函数的单调性与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.36 | B. | C.6 | D.68 |
A.最小值 | B.最大值 | C.最大值 | D.最小值 |
函数的最大值是 ( )
A. | B. | C. | D. |
已知命题:关于的函数在[1,+∞)上是增函数,命题:关于的函数在R上为减函数,若且为真命题,则的取值范围是 ( )
A. | B. | C. | D. |
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