题目

题型：解答题难度：简单来源：不详

已知函数是定义在上的奇函数,当时, (其中e是自然界对数的底,)
（Ⅰ）设，求证：当时，；
（Ⅱ）是否存在实数a，使得当时，的最小值是3 ？如果存在，求出实数a的值；如果不存在，请说明理由。

答案

（Ⅰ）设，则，所以
又因为是定义在上的奇函数，所以 
故函数的解析式为       …………………3分
证明：当且
时，，设
因为，所以当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增，所以
又因为，所以当时，，此时单调递减，所以
所以当时，即       ……………………6分
（Ⅱ）解：假设存在实数，使得当时，有最小值是3，则
（ⅰ）当，时，．在区间上单调递增，，不满足最小值是３
（ⅱ）当，时，，在区间上单调递增，，也不满足最小值是３
（ⅲ）当，由于，则，故函数 是上的增函数．
所以，解得（舍去）
（ⅳ）当时，则
当时，，此时函数是减函数；
当时，，此时函数是增函数．
所以，解得
综上可知，存在实数，使得当时，有最小值３

解析

（Ⅰ）,设,证明，（Ⅱ）的最小值是3，讨论a的值对函数最小值的影响。