题目
题型:解答题难度:简单来源:不详
(Ⅰ)当时,讨论的单调性;
(Ⅱ)设时,若对任意,存在,使,求实数的取值范围.
答案
函数在(1,+∞)上单调递增;
当时,函数在(0,+∞)上单调递减;
当时,函数在(0,1)上单调递减;
函数在上单调递增;
函数上单调递减,
(Ⅱ)
解析
试题分析:(Ⅰ)因为
所以
令
(1)当
所以,当,函数单调递减;
当时,,此时单调递
(2)当
即,解得
①当时,恒成立,
此时,函数在(0,+∞)上单调递减;
②当
时,单调递减;
时,单调递增;
,此时,函数单调递减;
③当时,由于
时,,此时,函数单调递减;
时,,此时,函数单调递增。
综上所述:
当时,函数在(0,1)上单调递减;
函数在(1,+∞)上单调递增;
当时,函数在(0,+∞)上单调递减;
当时,函数在(0,1)上单调递减;
函数在上单调递增;
函数上单调递减,
(Ⅱ)因为,由(Ⅰ)知,
,当,
函数单调递减;当时,
函数单调递增,所以在(0,2)上的最小值为
由于“对任意,存在,使”等价于
“在[1,2]上的最小值不大于在(0,2)上的最小值” (*)
又,所以
①当时,因为,此时与(*)矛盾;
②当时,因为,同样与(*)矛盾;
③当时,因为
解不等式,可得
综上,的取值范围是
点评:典型题,本题属于导数应用中的基本问题,恒成立问题,往往通过“分离参数”,转化成求函数的最值。涉及对数函数,要特别注意函数的定义域。
核心考点
举一反三
A.y="sin" x | B.y="cos" x | C.y="tan" x | D.y=2 |
A.最大值8 | B.最小值8 | C.最大值4 | D.最小值4 |
A. | B. | C. | D. |
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