题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
①在内是单调函数;②当定义域是,值域也是,则称是函数
的“好区间”.
(1)设(其中且),判断是否存在“好区间”,并
说明理由;
(2)已知函数有“好区间”,当变化时,求的最大值.
答案
解析
试题分析:(1)先求出的定义域.可知要对分情况讨论,当时,定义域,在内是增函数;当时,定义域,在内还是增函数.从而得出,即方程在定义域内有两个不等的实数根,即在定义域内有两个不等的实数根.再用换元法,设,则相当于两个不等的实数根,即在内有两个不等的实数根,通过研究二次函数,发现在内有两个不等的实数根无解,所以函数不存在“好区间”;(2)函数有“好区间”,由于定义域为,或,易知函数在上单调递增,,所以是方程,即方程有同号的相异实数根,然后再用判别式求出的范围,再用韦达定理用表示出,结合的范围即可求出的最大值.
试题解析:(1)由. 2分
①当时,,此时定义域,,,
,,,
,,
,
在内是增函数; 4分
②当时,,此时定义域,
同理可证在内是增函数; 6分
存在“好区间”,
关于的方程在定义域内有两个不等的实数根.
即在定义域内有两个不等的实数根.(*)
设,则(*),
即在内有两个不等的实数根,
设,则无解.
所以函数不存在“好区间”. 8分
(2)由题设,函数有“好区间”,
或,函数在上单调递增,
,所以是方程,即方程有同号的相异实数根. 12分
,同号,或.
,.
当,取得最大值. 16分
核心考点
试题【对于定义域为的函数,如果存在区间,同时满足:①在内是单调函数;②当定义域是,值域也是,则称是函数的“好区间”.(1)设(其中且),判断是否存在“好区间”,并说明】;主要考察你对函数的单调性与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)若函数,则 ;
(Ⅱ)若函数,则的最小正周期为 .
A.在区间上是增函数, 在区间上是增函数 |
B.在区间上是增函数, 在区间上是减函数 |
C.在区间上是减函数, 在区间上是增函数 |
D.在区间上是减函数, 在区间上是减函数 |
(1)求的解析式;
(2)若对任意实数,都有成立,求实数的取值范围.
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