题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

定义在R上的函数及二次函数满足：且.
（1）求和的解析式；
（2）对于，均有成立，求的取值范围；
（3）设，讨论方程的解的个数情况．

答案

（1），；（2）的取值范围为；（3）有5个解.

解析

试题分析：（1）根据已知的函数方程，可以得到，联立已知条件的函数方程，即可解得，又由条件二次函数及，可设，再根据，可求得；（2）问题等价于求使，恒成立的的取值范围，即求当，
使成立的的取值范围，通过判断的单调性可知，其在上单调递增，因此只需，由（1）求得的二次函数的解析式，可得只需，即的取值范围为；（3）根据条件及（1），（2）所求得的解析式，可画出的示意图，根据示意图，可以得到方程即等价于或，再从示意图上可得：有2个解, 有个解，因此有个解.
试题解析：（1） ,①
即②
由①②联立解得:.            2分，
是二次函数, 且,可设,
由,解得.∴，
∴，             5分；
（2）设,
,
依题意知:当时,
,在上单调递减,
∴                     7分
∴在上单调递增,，∴
∴解得:，
∴实数的取值范围为.           10分；
由题意，可画出的示意图如图所示:

令,则
∴，由示意图可知：有2个解, 有个解.
∴有个解.                      14分.