题目

题型：解答题难度：简单来源：不详

设函数
（1）已知在区间上单调递减，求的取值范围；
（2）存在实数，使得当时，恒成立，求的最大值及此时的值．

答案

(1) (2) 的最大值为3，此时

解析

试题分析：
(1)该函数显然是二次函数,开口向上,所以在对称轴左侧单调递减,右侧单调递增.根据题意可知区间在对称轴的左侧,所以根据对称轴即可求出的取值范围;
(2)由于该二次函数的对称轴未知,所以当对称轴与区间处于不同位置时,函数的单调性会发生改变,从而影响到函数的最值,所以得讨论区间与对称轴的位置关系,通过讨论位置关系确定单调性和最值,建立关于的关系式,从而得到最终的结论.
试题解析：
（1）该函数显然是二次函数,开口向上,所以在对称轴左侧单调递减,
该函数的对称轴为,所以区间在对称轴的左侧,
即所以
（2）显然，对称轴
讨论对称轴与区间的位置关系：
（1）当对称轴在区间左侧时,有，即,此时函数在上单调递增，
所以要使恒成立，只需满足
由及得与矛盾,舍.
（2）当对称轴在区间右侧时,有,此时函数在上单调递减，
要使恒成立，只需满足
由得，
所以与矛盾,舍.
（3）当对称轴在区间内时,有，此时函数在上递减，在上递增，
要使恒成立，只需满足
由前二式得，由后二式得  
又     得 即，故 
所以。当时，时满足题意.
综上的最大值为3，此时