题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）满足：f（

x

+1）=x+2

x

．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥ax对任意的a∈[-1，1]恒成立，求x的取值范围．

答案

（1）设t=

x

+1，则t≥1，且x=（t-1）²，
∴f（t）=（t-1）²+2（t-1）=t²-1，
∴函数的解析式是：f（x）=x²-1（x≥1），
另f(

x

+1)=(

x

+1)2-1，
∴f（x）=x²-1（x≥1），
（2）由题意得，x²-1≥ax对任意的a∈[-1，1]恒成立，
又x≥1，∴a≤

x2-1

x

对任意的a∈[-1，1]恒成立，
∴1≤

x2-1

x

，即x²-x-1≥0，
解得x≥

1+ 5

2

或x≤

-1- 5

2

（舍去），
故x的取值范围是x≥

1+ 5

2

．