题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知：在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x²-（m+1）x-m-2的图象与x轴交于A、B两点，点A在x轴的负半轴，点B在x轴的正半轴，与y轴交于点C，且OB=3OA．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，过点A的直线y=

1

2

x+

1

2

与抛物线交于点E．问：在抛物线的对称轴上是否存在这样的点F，使得△ABE与以B、D、F为顶点的三角形相似，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点G（x，1）在抛物线上，求出过点A、B、G的圆的圆心的坐标．

答案

（1）由题设条件，设A（-x₀，0），B（3x₀，0）（x₀＞0），
则x0=

m+1

2

，
∴由A（-x₀，0），知(-

m+1

2

)2-(m+1)×(-

m+1

2

)-m-2=0，
即3m²+2m-5=0，
解得m=1，或m=-

5

3

（舍）．
∴这个二次函数的解析式为y=x²-2x-3．
（2）在抛物线的对称轴上存在这样的点F，使得△ABE与以B、D、F为顶点的三角形相似．∵这个二次函数的解析式为y=x²-2x-3，
∴A（-1，0），B（3，0），D（1，-4），
对称轴为直线x=1．
∵过点A的直线y=

1

2

x+

1

2

与抛物线交于点E，
∴

y=x2-2x-3 y= 1 2 x+ 1 2

，
解得

x=1 y=0

或

x= 7 2 y= 9 4

，
∴点E的坐标为（

7

2

，

9

4

）．
过点E作EH⊥x轴于H
在Rt△AEH中，可求AE=

9

4

5

．
若对称轴与直线y=

1

2

x+

1

2

交于点P，
∴P点坐标为（1，1）
∵对称轴与x轴垂直，交点为点M，
∴在Rt△BMD中，可求BD=2

5

，
在Rt△APM中，tan∠PAM=

PM

AM

=

1

2

，
在Rt△BMD中，tan∠MDB=

BM

DM

=

1

2

，
∴∠PAM=∠MDB．
由题意，要使得在抛物线的对称轴上存在点F，使得△ABE与以B、D、F为顶点的三角形相似，只需要

AB

AF

=

DB

DE1

或

AB

AE

=

DF2

DB

．

∴

4

9 5 4

=

2 5

DF1

，
解得DF1=

45

8

，
∴点F₁ 的坐标为（1，

13

8

）．
或

4

9 5 4

=

DF2

2 5

，
解得 DF2=

32

9

，
∴点F₂ 的坐标为（1，-

4

9

）．
综上，符合题意的F点坐标为F(1，-

4

9

)或F(1，

13

8

)．
（3）∵点G（x，1）在抛物线上
∴点G的坐标为（1±

5

，1），
又∵A、B、G在同一圆上
∴圆心一定在抛物线的对称轴上
∵PA=PA=PG=

5

，
∴点P即为过点A、B、G的圆的圆心
∴点P的坐标为（1，1）．