题目

题型：解答题难度：一般来源：0110 高考真题

已知a∈R，函数f(x)=x²|x-a|，
(Ⅰ)当a=2时，求f(x)=x使成立的x的集合；
(Ⅱ)求函数y=f(x)在区间[1，2]上的最小值。

答案

解：（Ⅰ）由题意，，
当x＜2时，，解得x=0或x=1；
当x≥2时，，解得；
综上，所求解集为。
（Ⅱ）设此最小值为m， ①当a≤1时，在区间[1，2]上，，
因为，
则f（x）是区间[1，2]上的增函数，所以m=f（1）=1-a；
②当1＜a≤2时，在区间[1，2]上，，
由f（a）=0，知m= f（a）=0；
③当a＞2时，在区间[1，2]上，
；
若a≥3，在区间[1，2]内，f′（x）＞0，从而f（x）为区间[1，2]上的增函数，
由此得；
若2＜a＜3，则，
当时，f′（x）＞0，从而f（x）为区间上的增函数；
当时，f′（x）＜0，从而f（x）为区间上的减函数；
因此，当2＜a＜3时，；
当时，4（a-2）≤a-1，故m=4（a-2）；
当时，a-1＜4（a-2），故m=a-1；
综上所述，所求函数的最小值。