定义在实数集上的函数f（x）对任意x，y∈R，有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）•f（y），且f（0）≠0，（1）求证：f（0）=1（2）求证：y=f（x - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

定义在实数集上的函数f（x）对任意x，y∈R，有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）•f（y），且f（0）≠0，
（1）求证：f（0）=1
（2）求证：y=f（x）是偶函数．

答案

（1）令x=y=0则有f（0）+f（0）=2f（0）f（0）2f（0）=f（0）f（0），
因为f（0）≠0，
所以f（0）=1．
（2）令x=0
则有f（y）+f（-y）=2f（0）f（y），
∴f（-y）=f（y），
所以y=f（x）是偶函数．

核心考点

试题【定义在实数集上的函数f（x）对任意x，y∈R，有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）•f（y），且f（0）≠0，（1）求证：f（0）=1（2）求证：y=f（x】；主要考察你对分段函数等知识点的理解。[详细]

举一反三

函数f(x)=

x2+bx+c，(x≤0)

2，(x＞0)

，若f（-4）=f（0），f（-2）=-2，则关于x的方程f（x）=x的解的个数为（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

题型：单选题难度：简单| 查看答案

如果函数f（x）满足f（a+b）=f（a）•f（b）且f（1）=2则

f(2)

f(1)

f(3)

f(2)

f(4)

f(3)

f(6)

f(5)

+…+

f(2010)

f(2009)

f(2012)

f(2011)

=______．

题型：填空题难度：一般| 查看答案

设函数D(x)=

1， x为有理数

0， x为无理数

，则下列结论错误的是（　　）

A．D（x）的值域为{0，1}	B．D（x）是偶函数
C．D（x）不是周期函数	D．D（x）不是单调函数

题型：单选题难度：一般| 查看答案

已知R为实数集，Q为有理数集．设函数f(x)=

0，(x∈CRQ)

1，(x∈Q)

，则（　　）

A．函数y=f（x）的图象是两条平行直线

B．

lim

x→∞

f(x)=0或

lim

x→∞

f(x)=1

C．函数f[f（x）]恒等于0

D．函数f[f（x）]的导函数恒等于0

题型：解答题难度：一般| 查看答案

（文）已知R为实数集，Q为有理数集．设函数f(x)=

0，(x∈CRQ)

1，(x∈Q).

则（　　）

A．函数y=f（x）的图象是两条平行直线

B．函数y=f（x）是奇函数

C．函数f[f（x）]恒等于0

D．函数f[f（x）]的导函数恒等于0

题型：单选题难度：一般| 查看答案

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