已知函数f（x）对一切实数x，y均有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．（1）求f（0）的值（2）求f（x）的解析式 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）对一切实数x，y均有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．
（1）求f（0）的值
（2）求f（x）的解析式
（3）若函数g（x）=（x+1）f（x）-a[f（x+1）-x]在区间（-1，2）上是减函数，求实数a的取值范围．

答案

（1）令x=1，y=0⇒f（1）-f（0）=2∴f（1）=0⇒f（0）=-2
（2）令y=0⇒f（x）=f（0）+x（x+1）=x²+x-2
（3）∵g（x）=（x+1）f（x）-a[f（x+1）-x]
=（x+1）（x²+x-2）-a[（x+1）²+（x+1）-2-x]
=x³+x²-2x+x²+x-2-ax²-2ax
=x³+（2-a）x²-（1+2a）x-2
∴g"（x）=3x²+2（2-a）x-（1+2a）
g（x）在（-1，2）上是减函数即 g"（x）≤0在（-1，2）上恒成立
即3x²+2（2-a）x-（1+2a）≤0在（-1，2）上恒成立令
g（-1）≤0，即3+2a-4-1-2a≤0，恒成立；g（2）≤0，即12+8-4a-1-2a≤0，得a≥

综上知，实数a的取值范围a≥

核心考点

试题【已知函数f（x）对一切实数x，y均有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．（1）求f（0）的值（2）求f（x）的解析式】；主要考察你对分段函数等知识点的理解。[详细]

举一反三

某地煤气公司规定，居民每个月使用的煤气费由基本月租费、保险费和超额费组成．每个月的保险费为3元，当每个月使用的煤气量不超过a（单位：m³，且4≤a≤5）时，只缴纳基本月租费c元和保险费3元；如果超过这个使用量，超出的部分按计费．设某居民月使用的煤气量为x（m³），该月的煤气费为y元，则y=f（x）．若f（4）=4，f（25）=14，f（35）=19，求f（x）的解析式．

题型：解答题难度：一般| 查看答案

拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费由f（x）=1.06×（0.50×[m]+1）给出，其中m＞0，[m]是大于或等于m的最小整数，若通话费为10.6元，则通话时间m∈______．

题型：填空题难度：一般| 查看答案

已知函数y=f（x）是R上的偶函数，对于x∈R都有f（x-6）=f（x）+f（3）成立，且f（0）=-2，当x₁，x₂∈[0，3]，且x₁≠x₂时，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0．则给出下列命题：
①f（2010）=-2；
②函数y=f（x）图象的一条对称轴为x=-6；
③函数y=f（x）在[-9，-6]上为增函数；
④方程f（x）=0在[-9，9]上有4个根．
其中正确命题的序号是______．（请将你认为是真命题的序号都填上）

题型：填空题难度：一般| 查看答案

定义在（0，+∞）上函数f（x）满足f（x）+f（y）=f（xy），且当x＞1时，f（x）＜0，若不等式f(

x2+y2

)≤f(

)+f(a)对任意x，y∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是______．

题型：填空题难度：简单| 查看答案

设函数y=f（x）在（-∞，+∞）内有定义，对于给定的正数K，定义函数f_K（x）=

f(x)，f(x)≤K

K，f(x)＞K

取函数f（x）=2^-|x|．当K=

时，函数f_K（x）的单调递增区间为______．

题型：填空题难度：一般| 查看答案

最新试题

热门考点