题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
(1)试证明:函数y=f(x)是R上的单调减函数;
(2)试证明:函数y=f(x)是奇函数;
(3)试求函数y=f(x)在[m,n](m、n∈Z,且mn<0)上的值域.
答案
于是由题设条件f(x+x′)=f(x)+f(x′)可知f(x2)=f(x1)+f(x2-x1).
∵x2>x1,∴x2-x1>0.∴f(x2-x1)<0.
∴f(x2)=f(x1)+f(x2-x1)<f(x1).
故函数y=f(x)是单调减函数.
(2)证明:∵对任意x、x′∈R均有f(x+x′)=f(x)+f(x′),
∴若令x=x′=0,则f(0)=f(0)+f(0).
∴f(0)=0.
再令x′=-x,则可得f(0)=f(x)+f(-x).
∵f(0)=0,∴f(-x)=-f(x).故y=f(x)是奇函数.
(3)由函数y=f(x)是R上的单调减函数,
∴y=f(x)在[m,n]上也为单调减函数.
∴y=f(x)在[m,n]上的最大值为f(m),最小值为f(n).
∴f(n)=f[1+(n-1)]=f(1)+f(n-1)=2f(1)+f(n-2)═nf(1).
同理,f(m)=mf(1).
∵f(3)=-3,∴f(3)=3f(1)=-3.
∴f(1)=-1.∴f(m)=-m,f(n)=-n.
因此,函数y=f(x)在[m,n]上的值域为[-n,-m].
核心考点
试题【已知函数y=f(x)的定义域为R,对任意x、x′∈R均有f(x+x′)=f(x)+f(x′),且对任意x>0,都有f(x)<0,f(3)=-3.(1)试证明:函】;主要考察你对分段函数等知识点的理解。[详细]
举一反三
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(2)f(x)为多项式,且
lim |
x→∞ |
f(x)-4x3 |
x |
lim |
x→0 |
f(x) |
x |
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